Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel
Materi ini membahas tentang persamaan dan pertidaksamaan linear yang hanya melibatkan satu variabel berpangkat satu. Konsep ini merupakan dasar penting dalam aljabar dan banyak diterapkan dalam pemecahan masalah sehari-hari.
1. Persamaan Linear Satu Variabel (PLSV)
a. Pengertian Persamaan Linear Satu Variabel
Persamaan Linear Satu Variabel (PLSV) merupakan persamaan yang hanya melibatkan satu variabel berpangkat satu.
Bentuk umum persamaan linear satu variabel: ax + b = 0
dengan a, b ∈ R, a ≠ 0, dan x adalah variabel.
Penyelesaian persamaan linear satu variabel adalah nilai x yang membuat persamaan benar.
Contoh:
Selesaikan persamaan 3(x - 2) - x = 9 - x.
Penyelesaian:
3(x - 2) - x = 9 - x
3x - 6 - x = 9 - x (Sifat distributif)
2x - 6 = 9 - x
2x + x = 9 + 6 (Kedua ruas ditambah x dan 6)
3x = 15
x = 5 (Kedua ruas dibagi 3)
Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan 3(x - 2) - x = 9 - x adalah 5.
| Langkah Penyelesaian | Keterangan |
|---|---|
| 3(x - 2) - x = 9 - x | Persamaan awal |
| 3x - 6 - x = 9 - x | Sifat distributif |
| 2x - 6 = 9 - x | Menyederhanakan |
| 2x - 6 + x = 9 - x + x | Kedua ruas ditambah dengan x |
| 3x - 6 = 9 | |
| 3x - 6 + 6 = 9 + 6 | Kedua ruas ditambah dengan 6 |
| 3x = 15 | |
| 3x ÷ 3 = 15 ÷ 3 | Kedua ruas dikali dengan kebalikan dari 3, yaitu ⅓ |
| x = 5 | Penyelesaian |
b. Pertidaksamaan Linear Satu Variabel (PtLSV)
Pertidaksamaan linear satu variabel merupakan pertidaksamaan yang hanya melibatkan satu variabel dengan pangkat satu.
Bentuk umum pertidaksamaan linear satu variabel:
ax + b > c atau ax + b < c
ax + b ≥ c atau ax + b ≤ c
dengan a, b, c ∈ R, a ≠ 0, dan x adalah variabel.
Catatan penting: Ketika mengalikan atau membagi kedua ruas pertidaksamaan dengan bilangan negatif, tanda pertidaksamaan harus dibalik.
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari x + 5 ≤ 9 + 3x.
Penyelesaian:
x + 5 ≤ 9 + 3x
x - 3x ≤ 9 - 5 (Kedua ruas dikurangi 3x dan 5)
-2x ≤ 4
x ≥ -2 (Kedua ruas dibagi -2, tanda dibalik)
Himpunan penyelesaian dari x + 5 ≤ 9 + 3x adalah x ≥ -2.
| Langkah Penyelesaian | Keterangan |
|---|---|
| x + 5 ≤ 9 + 3x | Pertidaksamaan awal |
| x + 5 - 3x ≤ 9 + 3x - 3x | Kedua ruas dikurangi 3x |
| -2x + 5 ≤ 9 | |
| -2x + 5 - 5 ≤ 9 - 5 | Kedua ruas dikurangi 5 |
| -2x ≤ 4 | |
| -2x / -2 ≥ 4 / -2 | Kedua ruas dibagi -2, tanda dibalik |
| x ≥ -2 | Penyelesaian |
Himpunan penyelesaian: {x | x ≥ -2, x ∈ R}
Representasi pada garis bilangan:
Garis bilangan menunjukkan x ≥ -2 (nilai -2 termasuk dalam penyelesaian)
Langkah-langkah Menyelesaikan PLSV atau PtLSV pada Masalah Sehari-hari
- Pahami terlebih dahulu persoalan yang diberikan, tentukan dan nyatakan bagaimana bentuk diketahui menggunakan variabel, seperti x atau simbol lainnya.
- Ubah pernyataan menjadi bentuk PLSV atau PtLSV.
- Lakukan penyelesaian dengan menambah atau mengurangi dan mengalikan atau membagi.
- Untuk pertidaksamaan, jika mengalikan atau membagi dengan bilangan negatif, tanda pertidaksamaan harus dibalik.
- Periksa kembali hasil penyelesaian dengan mensubstitusikan ke persamaan/pertidaksamaan awal.
Contoh Soal dan Pembahasan
1. Soal Toko Sandang Jaya
Di Toko Sandang Jaya, harga satu baju lebih Rp5.000 dari dua kalinya harga satu celana. Harga beli dua baju dan satu celana adalah Rp310.000. Harga satu baju di Toko Sandang Jaya adalah ....
A. Rp60.000 C. Rp120.000
B. Rp85.000 D. Rp125.000
Pembahasan:
Misalkan, harga celana adalah x, maka:
Harga baju = 2x + 5.000
2 baju + 1 celana = 310.000
2(2x + 5.000) + x = 310.000
4x + 10.000 + x = 310.000
5x + 10.000 = 310.000
5x = 300.000
x = 60.000
Harga baju = 2x + 5.000 = 2(60.000) + 5.000 = 125.000
Jadi, harga satu baju adalah Rp125.000 (Jawaban D).
2. Soal Diet Robert
Robert sedang menjalani diet gula dan garam selama 1 minggu. Diet yang dijalankan Robert adalah sebagai berikut.
- Konsumsi gula pasir tidak lebih dari 30 gram (5 sendok teh) setiap hari
- Konsumsi garam maksimal 6 gram (1 sendok teh) setiap hari.
Diketahui kandungan gula per 100 gram nasi adalah 0,05 gram. Berilah tanda centang (√) pada kotak di depan pernyataan untuk jawaban-jawaban yang benar.
| Pernyataan | Status | |
| □ | Setiap hari, Robert diperbolehkan minum teh sebanyak 3 kali, dengan setiap gelas tehnya hanya menggunakan 1 sendok teh gula. | Benar |
| □ | Setiap hari, Robert tidak diperbolehkan minum es teh manis. | Salah |
| □ | Setiap hari, Robert tidak diperbolehkan makan makanan manis dan asin. | Salah |
| □ | Robert masih diperbolehkan makan nasi karena kandungan gula dalam nasi sangat sedikit sekali. | Benar |
Analisis:
Pernyataan 1 (Benar) - Oleh karena setiap gelas tehnya menggunakan 1 sendok teh gula, kandungan gula dari tiga gelas teh yang diminum Robert setiap hari tidak lebih dari 30 gram.
Pernyataan 2 (Salah) - Robert tetap diperbolehkan mengonsumsi es teh manis, asalkan konsumsi gula pasir tidak lebih dari 30 gram setiap hari.
Pernyataan 3 (Salah) - Robert tetap diperbolehkan mengonsumsi makanan asin, dengan ketentuan konsumsi gula pasir tidak lebih dari 30 gram dan konsumsi garam maksimal 6 gram per hari.
Pernyataan 4 (Benar) - Robert masih diperbolehkan mengonsumsi nasi karena kandungan gula per 100 gram nasi hanya 0,05 gram.
3. Soal Kebun Singkong Pak Saleh
Pak Saleh memiliki perkebunan singkong yang berbentuk persegi panjang. Kebun tersebut memiliki panjang 5 m lebih dari 3 kali lebarnya. Keliling kebun tersebut tidak lebih dari 58 m. Berilah tanda centang (√) pada kolom Ya atau Tidak untuk setiap pernyataan.
| Pernyataan | Ya | Tidak |
|---|---|---|
| Lebar kebun singkong Pak Saleh lebih dari 6 m. | ✓ | |
| Panjang kebun singkong Pak Saleh ≤ 23 m. | ✓ | |
| Luas kebun singkong Pak Saleh ≤ 138 m². | ✓ |
Pembahasan:
Misalkan lebar = l, maka panjang = 3l + 5
Keliling = 2(p + l) ≤ 58
2(3l + 5 + l) ≤ 58
2(4l + 5) ≤ 58
8l + 10 ≤ 58
8l ≤ 48
l ≤ 6
Jadi lebar ≤ 6 m (pernyataan 1: Tidak)
Panjang maksimal = 3(6) + 5 = 23 m (pernyataan 2: Ya)
Luas maksimal = 23 × 6 = 138 m² (pernyataan 3: Ya)